Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交切线BD于D，交AB于F．
（1）求证：BC=BD．
（2）若BE=16，CE=12，试求tanD的值．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得BD⊥AB，而CE⊥AB，则判断CE∥BD，根据平行线的性质得∠D=∠ECD，由于∠CED=∠BCD，则∠D=∠BCD，于是根据等腰三角形的判定定理即可得到BC=BD；
（2）先在Rt△BCE中，利用勾股定理计算出BC=20，则BD=20，再证明△BDF∽△ECF，根据相似的性质得到$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BD}{CE}$=$\frac{5}{3}$，则BF=$\frac{5}{8}$BE=10，然后在Rt△BDF中利用正切的定义求解．

解答 （1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
而CE⊥AB，
∴CE∥BD，
∴∠D=∠ECD，
∵CD平分∠ECB，
∴∠CED=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴BC=BD；
（2）解：在Rt△BCE中，∵BE=16，CE=12，
∴BC=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∴BD=20，
∵CE∥BD，
∴△BDF∽△ECF，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BD}{CE}$=$\frac{20}{12}$=$\frac{5}{3}$，
∴BF=$\frac{5}{8}$BE=$\frac{5}{8}$×16=10，
在Rt△BDF中，tanD=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．