Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；

(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) 平行四边形 (3)DF∥AB，DF＝AB

【解析】

（1）根据三线合一可得∠ADC＝90°，由外角的性质和角平分线的定义得AN∥BC,从而∠DAE＝90°，由CE⊥AN得∠AEC＝90°，从而四边形ADCE为矩形．

（2）由四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE，结合已知可得AB＝DE，AE＝BD，从而四边形ABDE是平行四边形；

（3）由四边形ADCE为矩形可得F是AC中点，由四边形ABDE是平行四边形可得DF∥AB，从而DF是△ABC的中位线.

(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

∴∠ADC＝90°.

∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，

∴∠MAN＝∠CAN.

∵AB＝AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∵∠MAN+∠CAN=∠ABC+∠ACB,

∴∠MAN=∠ABC,

∴AN∥BC,

∴∠DAE＝90°.

∵CE⊥AN，

∴∠AEC＝90°.

∴四边形ADCE为矩形．

(2)四边形ABDE是平行四边形．

证明：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE.

又∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝DE，AE＝BD，

∴四边形ABDE是平行四边形．

(3) ∵四边形ADCE为矩形

∴F是AC中点，

∵四边形ABDE是平行四边形

∴DF∥AB，

∴DF是△ABC的中位线.

∴DF∥AB，DF＝AB.