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【题目】把任意一个各个数位上的数字均不为0的多位自然数称为完美数,若将一个三位完美数的各数位上的数字两两组合,形成六个新的两位数,我们将这六个两位相加的和,叫做该三位完美数完美双和,然后用所得的完美双和除以18,得到的结果记为,例如“271”是一个三位完美数,六个新数为2721727112则:

1)填空:______

2)证明:任意一个三位完美数完美双和与该三位完美数各数位上数字之差能被21除;

3)已知一个三位完美数其中x,均为整数,满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1,求出

【答案】1;(2)证明见解析;(3

【解析】

根据的定义求解即可;

设三位完美数百位数为a,十位数为b,个位数为c,计算出完美双和与该三位完美数各数位上数字之差,即可得证;

根据完美数其中x,均为整数是三位数,确定x的值,再根据这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1,确定y的值,进而得出三个三位数,最后根据的定义求解即可.

六个新数为511553351331,则:

三位完美数百位数为a,十位数为b,个位数为c

完美双和与该三位完美数各数位上数字之差为:

bc为正整数,

一个三位完美数完美双和与该三位完美数各数位上数字之差能被21除;

完美数其中x,均为整数是三位数,

时,

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1

,解得舍去

时,

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1

,解得

此时

的方法,可求得

时,

这个三位数百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍加1

,解得

此时

的方法,可求得

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