Question

14．已知，⊙O的半径为R，AB和CD为⊙O的弦，且AB=$\sqrt{2}$R，弦CD=$\sqrt{3}$R，M、N分别是AB、CD的中点，则线段MN的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{1}{2}$R，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R-$\frac{1}{2}$R．

Answer 1

分析 连接OA、OC，根据题意和垂径定理得到AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，OM⊥AB，ON⊥CD，根据勾股定理求出OM、ON的长，计算即可．

解答 解：连接OA、OC，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
ON=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\frac{1}{2}$R，
∴线段MN的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{1}{2}$R，
最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R-$\frac{1}{2}$R．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{1}{2}$R；$\frac{\sqrt{2}}{2}$R-$\frac{1}{2}$R．

点评 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键．