Question

5．已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是$\widehat{AC}$的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=$\frac{3}{5}$时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．

Answer 1

分析 （1）过O作OH⊥AB于H，根据cos∠OAB=$\frac{3}{5}$，得到$\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}$，求得AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，根据三角形的面积公式即可进行求解；
（2）设AC交OB于M，由B是$\widehat{AC}$的中点，得到$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，求出AB=BC，推出OB垂直平分AC，即可得到结论．

解答 解：（1）过O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}$，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•OH=12cm²；

（2）设AC交OB于M，∵B是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB•sin∠MBA=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AM=$\frac{48}{5}$cm．

点评 本题考查了垂径定理，解直角三角形，线段垂直平分线的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．