Question

8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=30cm，AB=20cm，∠D=60°，E、F分别为AB和CD边上的两个动点，E从A向B运动，F从D向C运动，若点E的速度是1cm/秒，点F的速度是2cm/秒．
（Ⅰ）当点E和点F同时出发时，出发后几秒时四边形AECF是平行四边形．
（Ⅱ）在点E和点F同时出发的情况下，四边形AECF有没有成为矩形的可能？若认为能，请求出发后的时间；或认为不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，若四边形AECF是平行四边形，则AE=CF，得出方程t=20-2t，解方程即可；解得：t=$\frac{20}{3}$；
（2）由平行四边形的性质得出∠BAD=120°，若四边形AECF是矩形，则∠EAF=90°，求出∠DAF=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=$\frac{1}{2}$AD=15cm=2t，求出t=$\frac{15}{2}$，CF=CD-DF=5，此时AE=7.5≠5，得出四边形AECF不是平行四边形，产生矛盾，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
若四边形AECF是平行四边形，则AE=CF，
即t=20-2t，
解得：t=$\frac{20}{3}$；
即当点E和点F同时出发时，出发后$\frac{20}{3}$秒时四边形AECF是平行四边形．
（2）在点E和点F同时出发的情况下，四边形AECF没有成为矩形的可能；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠BAD=120°，
若四边形AECF是矩形，则∠EAF=90°，
∴∠DAF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=15cm=2t，
∴t=$\frac{15}{2}$，CF=CD-DF=5，
此时AE=7.5≠5，
∴四边形AECF不是平行四边形，
∴在点E和点F同时出发的情况下，四边形AECF没有成为矩形的可能．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．