Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，P是AB上的动点（P异于A、B）过点P直线截Rt△ABC，使截得的三角形与Rt△ABC相似，
（1）过P点的直线有几条；
（2）通过画图与计算，探究当$\frac{BP}{BA}$的值为多少时，使截得的三角形面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以；
（2）根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解．

解答 解：（1）如图1，由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线；

（2）如图2，设P（l_x）截得的三角形面积为S，S=$\frac{1}{4}$S_△ABC，则相似比为1：2，
①第1条l₁，此时P为斜边AB中点，l₁∥AC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
②第2条l₂，此时P为斜边AB中点，l₂∥BC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
③第3条l₃，此时BP与BC为对应边，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{\frac{BP}{BA}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
④第4条l₄，此时AP与AC为对应边，且 $\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\frac{AP}{AC}}{sin30°}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BP}{BA}=\frac{3}{4}$，
∴当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3}{4}$时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．