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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B两点(A在B左边),交y轴于C点,且OC=3OA,对称轴x=1交抛物线于D点.

(1)求抛物线解析式;

(2)在直线BC上方的抛物线上找点E使SBCD=SBCE,求E点的坐标;

(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点M,过M作MNx轴于N点,使BMNBCD相似?若存在,请求出M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.2)E(2,3).(3)存在,存在点M(2,3)或(﹣),使BMNBCD相似.

【解析】

试题分析:(1)将x=0代入可求得y=3,故此可知C(0,3),OC=3,OA=1,则点A的坐标为(﹣1,0),由点B与点A关于x=1对称可知B(3,0),将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式,从而可求得a=﹣1,b=2;

(2)过D点作DEBC交抛物线y=﹣x2+2x+3于E点,由BCDBCE是同底等高的三角形可知SBCD=SBCE,设直线DE的解析式为y=﹣x+b,将点D的坐标代入可求得直线DE的解析式,然后与抛物线的解析式联立可求得点E的坐标;

(3)由两点间的而距离公式可知:BC=3,CD=,设M(x,y),则MN=y=﹣x2+2x+3,BN=3﹣x,然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程,从而可求得点M的坐标.

解:(1)将x=0代入得y=3,

C(0,3).

OC=3OA

OA=1

A(﹣1,0).

点B与点A关于x=1对称,

B(3,0).

将A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:

解得:

抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3.

(2)将x=1代入抛物线的解析式得:y=﹣1+2+3=4,

D(1,4).

如图1,过D点作DEBC交抛物线y=﹣x2+2x+3于E点.

设直线DE的解析式为y=﹣x+b,

将点D的坐标代入得:﹣1+b=4,解得:b=5,则直线DE的解析式为y=﹣x+5.

将y=﹣x+5与y=﹣x2+2x+3联立得:

解得:(舍去),

E(2,3).

(3)存在.

由两点间的而距离公式可知:BC=3,CD==

设M(x,y),则MN=y=﹣x2+2x+3,BN=3﹣x.

①如图2所示:

BMN∽△DBC时,

解得:x1=2,x2=3(舍去).

当x=2时,y=3,

M(2,3).

②如图3所示:

BMN∽△BDC时,

解得:x1=﹣,x2=3(舍去).

当x=﹣时,y=

M(﹣

综上,存在点M(2,3)或(﹣),使BMNBCD相似.

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