Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论正确的是_____．

①△ADC∽△CFB；②AD＝DF；③；④＝

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

易得∠ADC＝∠BCD＝90°及∠CAD＝∠BCF，从而可得△ADC∽△CFB；过点D作DM∥BE，交AC于N，交AB于M，可得DM垂直平分AF，则可得DF＝DA；设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a由△ADC∽△CFB，可得，变形可判定③；根据E是CD边的中点，可得比例式，再结合△CEF∽△ABF，可判断④．

解：∵BE⊥AC，∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠BCF+∠ACD＝∠CAD+∠ACD

∴∠CAD＝∠BCF

∴△ADC∽△CFB

∴①正确；

如图，过点D作DM∥BE，交AC于N，交AB于M

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形.

∴BM＝DE＝DC.

∴BM＝AM.

∴AN＝NF.

∵BE⊥AC，DM∥BE,

∴DN⊥AF.

∴DM垂直平分AF.

∴DF＝DA.

故②正确；

设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a,

由△ADC∽△CFB，可得,

∴b＝a.

∴,

∴.

故③错误；

∵E是CD边的中点

∴CE：AB＝1：2

又∵CE∥AB

∴△CEF∽△ABF

∴＝＝.

故④正确．

故答案为：①②④