探究：如图②，在△ABC中，∠C＝α(0°＜α＜90°)，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α.

应用：设图②中的α＝60°，AC＝2.当△ABE是直角三角形时，AE＝________．

（1）直接写出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标；.

（2）在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2．

（3）计算△ABC的面积．

【题目】如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A，B，C的坐标分别为(－3，－1)，(－3，－3)，(－3＋，－2)．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A2B2C2.

(1)直接写出点C1，C2的坐标．

(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？若能，请直接写出所旋转的度数；若不能，请说明理由．

(3)设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2，△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．

①当△ABC向上平移多少个单位长度时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合？并直接写出此时点C的坐标；

②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180)，使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以1.5cm/s的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过_____秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

(1)求证：OC＝AD；

(2)求OC的长．

(1)画出旋转后的三角形；

(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有 ．

（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；

（2）设∠BAC= ，∠DCE= ．

① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；

② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的大小．

（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；

（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积；

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．