【题目】已知内接于圆，点为弧上一点，连接交于点，．

（1）如图1，求证：弧弧；

（2）如图2，过作于点，交圆点，连接交于点，且，求的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，圆上一点与点关于对称，连接，交于点，点为弧上一点，交于点，交的延长线于点，，的周长为20，，求圆半径．

（1）求甲、乙两车间各有多少人；

（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1314件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间．

【题目】已知点是平行四边形的边的中点，是对角线，交的延长线于，连接交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当四边形是矩形时，请你确定四边形的形状并说明．

【题目】为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随杋抽取了名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）______，_____，____；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生5000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

【题目】如图,在中，，分别在边上，，，则线段的长为______．

【题目】纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________．

【题目】如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）的面积何时最大？求出此时点的坐标和最大面积；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【题目】如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．

（1）求证：；

（2）当时（如图2），求的长；

（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

【题目】甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为5元/．在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元/；一次购买数量超过时，其中有的价格为6元/，超过部分的价格为4元/．设小张在同一个批发店一次购买苹果的数量为．

（1）根据题意填表：

（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；

（3）根据题意填空：

①若小张在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为_________；

②若小张在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的___________批发店购买花费少；

③若小张在同一个批发店一次购买苹果花费了460元，则他在甲、乙两个批发店中的___________批发店购买数量多．

【题目】某班“数学兴趣小组”对函数，的图象和性质进行了探究过程如下，请补充完成：

（1）函数的自变量的取值范围是__________________；

（2）下表是与的几组对应值．请直接写出，的值：______________；________．

（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数的图象形状相同，是中心对称图形，且点和是一组对称点，则其对称中心的坐标为________．

（5）请写出一条该函数的性质：___________________．

（6）当时，关于的方程有实数解，求的取值范围．