【题目】已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边．

（1）当平分时，如图1，四边形是________形；

（2）过作于，如图2，求证：为的中点；

（3）若．

①当为的中点时，过点作于，如图3，求的长；

②点从点运动到点，则点所经过路径长为________（直接写出结果）．

如图1，已知在，，，，点为边上的一个动点，连接．设，．

（初步感知）

（1）当时，则①________，②________；

（深入思考）

（2）试求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；

（3）通过取点测量，得到了与的几组值，如下表：

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

1）建立平面直角坐标系，如图2，描出已补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：

①________________________________；②________________________________．

【题目】为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）填空：________，________，________；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）该校对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数；

（4）结合调查的情况，为了提高疫情防控意识，请你给学校提一条合理性建议．

【题目】《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（，，，）．

（1）小猪佩奇随机坐到座位的概率是________；

（2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．

已知：线段，及∠O .

求作：△ABC，使得线段，及∠O分别是它的两边和一角.

作法：如图,

①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M ,N；

②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B；

③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；

④画射线AD；

⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C；

⑥连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形.

请回答:

（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ；

（2）∠A＝∠O的作图依据是 ；

（3）小红说小明的作图不全面，原因是 .

【题目】在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．

例如，点的一次反射点为，二次反射点为．

根据定义，回答下列问题：

（1）点的一次反射点为__________，二次反射点为____________；

（2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是___________；

（3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数．

（4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．

（1）在图1中，依题意补全图形；

（2）记（），求的大小；（用含的式子表示）

（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明.

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线()．

（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a的代数式表示)；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．

①求a的值；

②记二次函数图象在点A，B之间的部分为W(含点A和点B)，若直线()经过（1，-1），且与图形W有公共点，结合函数图象，求b的取值范围．

【题目】如图，在矩形中，是延长线上的定点，为边上的一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点，连接．

小东根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究．

下面是小东探究的过程，请补充完整：

（1）对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表：

在的长度这三个量中，确定_____的长度是自变量，_____的长度和_____的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为________．

【题目】某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0.如图1是某个学生的身份识别图案.约定如下：把第i行，第j列表示的数字记为（其中i，j=1，2，3，4），如图1中第2行第1列的数字=0；对第i行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字.如图1中，第二行，说明这个学生在5班.

（1）图1代表的学生所在年级是______年级，他的学号是_________；

（2）请仿照图1，在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案