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【题目】如图,已知抛物线经过点A(1,0)和点B (0,-3),与x轴交于另一点C。
(1)求抛物线的解析式。
(2)在抛物线上是否存在一点D,使△ACD的面积与△ABC的面积相等(点D不与点B重合)?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是抛物线对称轴上的动点,那么是否存在这样的点P,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证: BE=CF;
(2)请探究旋转角等于多少度时,四边形ABDF为菱形,证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,求CD的长.
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【题目】要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏,围栏总长50m,一边靠墙(墙长25m).
(1)求围栏的长和宽;
(2)能否围成面积为400m2的长方形围栏?如果能,求出该长方形的长和宽,如果不能请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6.
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴;
(2)指出该图象可以看作抛物线y=2x2通过怎样平移得到?
(3)在给定的坐标系内画出该函数的图象,并根据图象回答:当x取多少时,y随x增大而减小;当x取多少时,y<0.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,□OABC的顶点A坐标为(6,0),C点坐标为(2,2),若经过点P(1,0)的直线平分□OABC的周长,则该直线的解析式为_______________.
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【题目】解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法.
例题呈现
关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=1,x2=-2(a、m、b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
解法探讨
(1)小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题;
小明的思路
第1步 把1、-2代入到第1个方程中求出m的值;
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值;
第3步 解第2个方程.
(2)小红仔细观察两个方程,她把第2个方程a(x+m+2)2+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”,则“x+2”的值为 ,从而更简单地解决了问题.
策略运用
(3)小明和小红认真思考后发现,利用方程结构的特点,无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题,请用他们说的方法完成解答.
已知方程 (a2-2b2)x2+(2b2-2c2)x+2c2-a2=0有两个相等的实数根,其中a、b、c是△ABC三边的长,判断△ABC的形状.
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【题目】已知⊙O半径为1,若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB=60°,则称点P是⊙O的领域点.
(1)对以下情况,用三角板或量角器尝试画图,并判断点P是否是⊙O的领域点(在横线上填“是”或“不是”).
①当OP=1.2时, 点P ⊙O的领域点 | ②当OP=2时, 点P ⊙O的领域点 | ③当OP=3时, 点P ⊙O的领域点 |
(2)若点P是⊙O的领域点,则OP的取值范围是 ;
(3)如图,以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,设直线y=﹣x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点M、N.
①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点,求b的值;
②若线段MN上存在⊙O的领域点,求b的取值范围.
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【题目】如图,⊙O的半径为2,O到顶点A的距离为5,点B在⊙O上,点P是线段AB的中点,若B在⊙O上运动一周.
(1)点P的运动路径是一个圆;
(2)△ABC始终是一个等边三角形,直接写出PC长的取值范围.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,=,过点C作CE⊥AD延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若BC=3,AC=4,求CE和AD的长.
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