（1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价；

（2）若学校准备购进这两种奖品共90份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【题目】如图1，在中，，点D、E分别是边的中点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，、所在直线相交所成的锐角为．

（1）问题发现

当时，________；________°．

（2）拓展探究

试判断：当时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）在旋转过程中，当时，直接写出此时的面积．

【题目】在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P旋转得到线段，连结．

（1）观察猜想：如图1，当时，线段绕点P顺时针旋转得到线段，则的值是________，直线与相交所成的较小角的度数是________；

（2）类比探究：如图2，当时，线段绕点P顺时针旋转得到线段．请直接写出与相交所成的较小角的度数，并说明与相似，求出的值；

（3）拓展延伸：当时，且点P到点C的距离为，线段绕点P逆时针旋转得到线段，若点A，C，P在一条直线上时，求的值．

（特例感知）

（1）如图①，是等边三角形，绕点A作旋转伸缩变换得，连接，

①若，则旋转角的度数为________；

②若伸缩比为2∶1，则线段的数量关系为________；

③直线与直线所夹的锐角为________；

（探究证明）

（2）如图②，在中，，将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，作旋转伸缩变换得到，连接、，直线与直线相交于点P，请判断的值及的度数，并说明理由；

（问题解决）

（3）在（2）的条件下，若，求当点与点P重合时，的长．

【题目】（问题背景）如图，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点P为的中点．

（观察猜想）观察图1，猜想线段与的数量关系是________，位置关系是________．

（2）（拓展探究）把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．

（3）（问题解决）把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出线段长的取值范围．

【题目】如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想

①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到，

，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；

（2）探究证明

如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；

（3）拓展应用

如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

●操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

●类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

答： ．

【题目】如图一，菱形与菱形的顶点重合，点在对角线上，且.

（1）问题发现：

的值为________；

（2）探究与证明：

将菱形绕点按顺时针方向旋转角（），如图二所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

菱形在旋转过程中，当点，，三点在一条直线上时，如图三所示，连接并延长，交于点，若，，则的长为________.

【题目】在中，，．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．点M是的中点，点N是的中点．

（1）问题发现

如图1，当时，的值是________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

如图3，当时，若点E是的中点，点P在直线上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时的值．

（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标．

（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P．

（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．