Question

【题目】在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P旋转得到线段，连结．

（1）观察猜想：如图1，当时，线段绕点P顺时针旋转得到线段，则的值是________，直线与相交所成的较小角的度数是________；

（2）类比探究：如图2，当时，线段绕点P顺时针旋转得到线段．请直接写出与相交所成的较小角的度数，并说明与相似，求出的值；

（3）拓展延伸：当时，且点P到点C的距离为，线段绕点P逆时针旋转得到线段，若点A，C，P在一条直线上时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，60°；（2），直线AP与相交所成的较小角的度数是45°；（3）的值为或．

【解析】

解：（1）如图1中，延长交的延长线于K，设交于J．

∵，

∴都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直线与相交所成的较小角的度数是60°，

故答案为1，60°．

（2）如图2中，设交于O．

∵，

∴都是等腰直角三角形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直线AP与相交所成的较小角的度数是45°．

（3）如图3-1中，当点P在的延长线上时，设，则，

∵，

∴，

在中，∵，

∴，

∴．

如图3-2中，当点P落在上时，设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述， 的值为或．