如图①，在中，，点D是上一点，沿折叠，使得点C恰好落在上的点E处．则的数量关系为______；________；

（2）问题解决

如图②，若（1）中，其他条件不变，请猜想之间的关系，并证明你的结论；

（3）类比探究

如图③，在四边形中，，连接，点E是上一点，沿折叠使得点D正好落在上的点F处，若，直接写出的长．

【题目】已知为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．

（1）问题发现

如图①，当点D在边BC上时，填空：

①线段BD，CE之间的数量关系为________；

②线段AC、CE、CD三者之间的数量关系为________；

（2）拓展研究

如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图③，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，若，，请直接写出线段CD的长．

【题目】已知，在中，，，点为的中点．

（1）若点、分别是、的中点，则线段与的数量关系是 ；线段与的位置关系是 ；

（2）如图①，若点、分别是、上的点，且，上述结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图②，若点、分别为、延长线上的点，且，直接写出的面积．

【题目】在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.

（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；

（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，

请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).

(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.

如图①，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，和相交于点E，连接．

解决问题

（1）在图①中，

①和的位置关系为________；

②将剪下后展开，得到的图形是________；

（2）若图①中的矩形变为平行四边形时（），如图②所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）在图②中，若，当恰好为直角三角形时，求的长度．

（1）求A品牌实心球和B品牌实心球的单价．

（2）现学校决定一次性购买A，B品牌实心球共50个，要求A品牌实心球数量不超过B品牌实心球数量的倍，问如何安排购买方案，使学校购买的总费用最少？最少为多少元？

（1）问在甲店售出1件A和1件B分别获利多少元？

（2）某日王老板进了A款式的服装35件，B款式的服装25件，如果分配给甲店的A款式的服装x件，①求王老板获取的利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

②由于甲、乙两个店铺所处的地段原因，王老板想在保证乙店利润不小于950元的前提下，使得自己获取的利润最大，请你帮王老板设计一种最佳分配方案，并求最大的总利润是多少？

（1）求A、B两种花的单价分别是多少元？

（2）若购买A、B两种花共31棵，且B种花的数量不多于A种花的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【题目】陕西省某甜瓜基地因“规模大、品质好、品牌亮”吸引了周边大批水果批发商订购，该基地对需要送货上门且购买量在（含1000kg和3000kg）的客户制定了两种销售方案（客户只能选择其中一种方案），已知该基地甜瓜批发价随市场变化波动，设某天批发价为每千克m元．

方案一：每千克元，免运费；

方案二：每千克m元，客户需支付运费1200元．

（1）请分别写出这一天按方案一、方案二购买这种甜瓜的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；

（2）当购买量x在什么范围时，选择方案二比方案一付款少；

（3）已知5月某天批发价为每千克8元，某水果批发商计划用25000元在这一天购买尽可能多的这种甜瓜并需要送货上门，那么他在这两种方案中，应选择哪一种方案？