Question

3．设变量x、y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤1}\\{x+2y≥1}\end{array}}\right.$，则z=3^2x-y的最大值为（　　）

• A． $\root{3}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 首先由约束条件画出可行域，令2x-y=t，利用t的几何意义求出最值，然后求z 的最值．

解答 解：约束条件对应的平面区域如图：
令2x-y=t，变形得y=2x-t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+2y=1}\end{array}\right.$得到交点A（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）所以t最小为$\frac{1}{3}×1-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$；过C时直线y=2x-t在y轴截距最小，t最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x+2y=1}\end{array}\right.$解得C（1，0），所以t的最大值为2×1-0=2，所以$t∈[\frac{1}{3}，2]$，故${z_{max}}={3^2}=9$；
故选D．

点评 本题考查了简单线性规划问题；利用数形结合的方法，借助于目标函数的几何意义求最值．