Question

15．已知函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），若ω=1，则函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]；若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]为增函数，则ω的取值范围是[0，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 先利用辅助角公式对函数解析式进行化简当ω=1，求得f（x）的值域，进而根据正弦函数的图象性质求得ω的范围．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx
=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
当ω=1，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
由函数的图象可知：f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]；
∵∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴当-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{5π}{6ω}$＜x＜$\frac{π}{6ω}$，
在[0，$\frac{π}{2}$]为增函数，
∴[$-\frac{5π}{6ω}$，$\frac{π}{6ω}$]?[0，$\frac{π}{2}$]，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5π}{6ω}＜0}\\{\frac{π}{6ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$∴$0＜ω≤\frac{1}{3}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]、[0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数恒等变换的运用．注意数形结合的思想运用．