Question

已知函数，其中e为自然对数的底数．

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（III）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意得，

，

,

所以曲线在点处的切线方程为

………………………………………4分

（Ⅱ）等价于对任意，．

设，．

则

因为，所以，

所以，故在单调递增，

因此当时，函数取得最小值；

所以，即实数的取值范围是． ………………………………10分

（Ⅲ）设，．

当时，，所以函数在上单调递减，故函数在至多只有一个零点，

又，而且函数在上是连续不断的，

因此，函数在上有且只有一个零点．…………………………………13分