Question

已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜π）在x=

π

12

时取最大值2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求f（x）；
（2）若f（a）=

2

3

，a∈（

π

12

，

π

3

），求sin（

7π

6

-2a）的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数的最大值求出A，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．求出函数的周期，得到ω，利用x=

π

12

时取最大值2，结合0＜φ＜π，求出φ，求出函数f（x）的表达式；
（2）通过f（a）=

2

3

，a∈（

π

12

，

π

3

），求出cos（2a+

π

3

），利用诱导公式化简sin（

7π

6

-2a），得到cos（2a+

π

3

）的形式，从而求出表达式的值．

解答：解：（1）由已知得：A=2，

T

2

=

π

2

 所以T=π，2ω=2从而ω=1；
且sin（2×

π

12

x+φ）=1 结合0＜φ＜π知φ=

π

3

 所以函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）由f（a）=

2

3

，得sin（2x+

π

3

）=

1

3

 因a∈（

π

12

，

π

3

），所以

π

2

＜2a+

π

3

＜π
所以cos（2a+

π

3

）=-

2 2

3

于是sin（

7π

6

-2a）=sin[

3π

2

-(2a+

π

3

)]
=-cos（2a+

π

3

）=

2 2

3

点评：本题是中档题，考查函数的解析式的求法，注意周期的应用，诱导公式的化简是简化（2）的关键，考查计算能力．