Question

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x-2）²+y²=4，直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y-12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，$\frac{π}{2}$））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求$\frac{|OA|}{|OB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=$\frac{12}{cosθ+\sqrt{3}sinθ}$，利用三角函数知识，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；
直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y-12=0，极坐标方程为ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-12=0；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=$\frac{12}{cosθ+\sqrt{3}sinθ}$，
∴$\frac{|OA|}{|OB|}$=$\frac{cosθ（cosθ+\sqrt{3}sinθ）}{3}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}$π），
∴sin（2θ+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$1]，
∴$\frac{|OA|}{|OB|}$的最大值为$\frac{1}{2}$，此时$θ=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查三角函数知识，属于中档题．