Question

7．三棱锥P-ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB=2，AP+AC=4，则该三棱锥的体积V的取值范围是（0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 利用基本不等式求出AP•AC的范围，得出△PAC的面积的范围，代入棱锥的体积公式得出答案．

解答 解：∵AP+AC=4，
∴AP•AC≤（$\frac{AP+AC}{2}$）²=4，
设∠PAC=θ，则0＜θ＜π，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2，
∴0＜S_△PAC≤2．
∵AB⊥AC，AB⊥AP，
∴AB⊥平面PAC，
∴V=$\frac{1}{3}$S_△PAC•AB=$\frac{2}{3}$S_△PAC，
∴0＜V≤$\frac{4}{3}$．
故答案为：$（0，\frac{4}{3}]$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，线面垂直的判定定理，属于中档题．