Question

15．若对圆（x-1）²+（y-1）²=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤-4
• B． -4≤a≤6
• C． a≤-4或a≥6
• D． a≥6

Answer 1

分析 由题意可得故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，
，根据点到直线的距离公式解得即可．

解答 解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（$\frac{|3x-4y+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$+$\frac{|3x-4y-9|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$），
故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，
∵取值与x，y无关，
∴这个距离之和与P无关，
如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时与x，y的值无关，
当直线m与圆相切时，$\frac{|3x-4y+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
化简得|a-1|=5，
解得a=6或a=-4（舍去），
∴a≥6
故选：D．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题