Question

16．已知在等比数列{a_n}中，若a₁=128，a₈=1．
（1）求公比q和a₁₂；
（2）证明：依次取出数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…，所得的新数列{a_3n-2}（n∈N^*）仍然是一个等比数列．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列{a_n}中，a₁=128，a₈=1，即可求公比q和a₁₂；
（2）a_3n-2=2⁷•$（\frac{1}{2}）^{3n-3}$=2¹⁰•$（\frac{1}{2}）^{3n}$，利用等比数列的定义，即可证明结论．

解答 （1）解：∵等比数列{a_n}中，a₁=128，a₈=1，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∴a₁₂=a₁•（$\frac{1}{2}$）¹¹=$\frac{1}{16}$；
（2）证明：∵a_3n-2=2⁷•$（\frac{1}{2}）^{3n-3}$=2¹⁰•$（\frac{1}{2}）^{3n}$，
∴$\frac{{a}_{3n-2}}{{a}_{3n-5}}$=$\frac{1}{8}$，
∴新数列{a_3n-2}（n∈N^*）仍然是一个等比数列．

点评 本题考查等比数列的通项与证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．