Question

已知椭圆E：

x2

20

+

y2

16

=1，点A是椭圆与y轴的交点，F为椭圆的右焦点，直线l与椭圆交于B，C两点．
（1）若点M满足：

AF

=2

FM

，

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)．
①求点M的坐标；②求直线l的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，若

AB

•

AC

=0，D在BC上，且

AD

•

BC

=0．
①求证：直线l恒过一定点，并求出该定点坐标；②求动点D的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,证明题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由题意得，a=2

5

，b=4，c=2；
（1）①写出F（2，0），设点M（x，y）；讨论A的坐标，从而由

AF

=2

FM

求出M的坐标；
②讨论点M的坐标，从而写出直线l的方程，再由点M是线段BC的中点求直线l的方程；
（2）①y=kx+m与与椭圆方程联立消y可得，（4+5k²）x²+10kmx+5m²-80=0，借助韦达定理简化运算，从而求出（k²+1）

5m2-80

4+5k2

+k（m-4）

-10km

4+5k2

+（m-4）²=0，从而可求出m的值，从而得到定点；
②若A（0，4），则y=kx-

4

9

，设点D（x，y），则由

AD

•

BC

=0可得

y-4

x-0

•k=-1；化简得到动点D的轨迹方程，同理讨论A（0，-4）时的情况即可．

解答： 解：由题意得，a=2

5

，b=4，c=2；
（1）F（2，0），设点M（x，y）；
①若A（0，4），则

AF

=（2，-4），

FM

=（x-2，y）；
则由

AF

=2

FM

可得，

2=2(x-2) -4=2y

，
解得，x=3，y=-2；
若A（0，-4），则

AF

=（2，4），

FM

=（x-2，y）；
则由

AF

=2

FM

可得，

2=2(x-2) 4=2y

，
解得，x=3，y=2；
故点M的坐标为（3，-2）或（3，2）；
∵

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
∴B、C、M三点共线，且点M是线段BC的中点，
故若M（3，-2），设直线l的方程为y=k（x-3）-2；
与椭圆方程联立消y可得，
（4+5k²）x²-10k（3k+2）x+5（3k+2）²-80=0，
则x_B+x_C=

10k(3k+2)

4+5k2

=3×2=6，
解得，k=

6

5

，
同理，当M（3，2）时，k=-

6

5

，
故直线l的方程为
y=

6

5

（x-3）-2或y=-

6

5

（x-3）+2，
即6x-5y-28=0或6x+5y-28=0，
（2）①证明：y=kx+m与与椭圆方程联立消y可得，
（4+5k²）x²+10kmx+5m²-80=0，
则x_B+x_C=

-10km

4+5k2

，x_Bx_C=

5m2-80

4+5k2

；
若A（0，4），则

AB

=（x_B，y_B-4），

AC

=（x_C，y_C-4）；
∵

AB

•

AC

=0
∴x_Bx_C+（y_B-4）（y_C-4）=0，
即x_Bx_C+k²x_Bx_C+k（m-4）（x_B+x_C）+（m-4）²=0，
即，（k²+1）

5m2-80

4+5k2

+k（m-4）

-10km

4+5k2

+（m-4）²=0，
即m=4或m=-

4

9

；
当m=4时，直线l恒过点A，不是要求的直线，
故m=-

4

9

；
则直线l恒过定点（0，-

4

9

）；
若A（0，-4），同理可得直线l恒过定点（0，

4

9

）；
②若A（0，4），则y=kx-

4

9

，
设点D（x，y），
则由

AD

•

BC

=0可得，

y-4

x-0

•k=-1；
化简可得，
k（y-4）+x=0，
即

y+ 4 9

x

（y-4）+x=0，
化简可得，x²+y²-

32

9

y=

16

9

，
若若A（0，-4），同理可得x²+y²+

32

9

y=

16

9

．

点评：本题考查了圆锥曲线的综合应用，无论化简与思路都比较困难，属于难题．