Question

1．在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．

Answer 1

分析 结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，进而得到tanB+tanC=3tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．

解答 解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，
又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$②，
则tanAtanBtanC=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$•tanBtanC，
由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=-$\frac{3（tanBtanC）^{2}}{1-tanBtanC}$，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=-$\frac{3{t}^{2}}{1-t}$=-$\frac{3}{\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$=（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，由t＞1得，-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为12．
故答案为：12．

点评 本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．