【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数,
).
(Ⅰ)当时,判断直线
与曲线
的位置关系;
(Ⅱ)设直线与
轴的交点为
,且与曲线
交于
两点,且
,求
的值.
【答案】(Ⅰ)直线与曲线
相切(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)将极坐标方程以及参数方程化为普通方程,再利用点到直线的距离公式即可判断.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点坐标为
,且直线的斜率为
,直线
的倾斜角为
,将直线
的参数方程与曲线
的普通方程联立,利用参数
的几何意义即可求解.
(Ⅰ)当时,曲线
的参数方程为
,
∴曲线的普通方程为
,表示以原点
为圆心,
为半径的圆,
∵,
∴,
∴直线的直角坐标方程为
,
即,
∵到直线
的距离为
,
∴直线与曲线
相切;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点坐标为
,且直线的斜率为
,
∴直线的倾斜角为
,
∴直线的参数方程为
(
为参数),
曲线的普通方程为
,
将直线的参数方程代入曲线
的普通方程,
整理,得,
∵直线与曲线
交于
两点,设
两点对应的参数分别为
,
,
∴,
且,
∵,
∴,
解得(满足
),
∴的值为
.
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【题目】年
月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳
的质量
随时间
(单位:年)的衰变规律满足
(
表示碳
原有的质量),则经过
年后,碳
的质量变为原来的________;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳
的质量是原来的
至
,据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到
年之间.(参考数据:
)
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【题目】齐王有上等,中等,下等马各一匹;田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】以下四个命题:
①“若,则
”的逆否命题为真命题
②“”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件
③若为假命题,则
,
均为假命题
④对于命题:
,
,则
为:
,
其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);
(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.
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【题目】已知甲、乙两地生产同一种瓷器,现从两地的瓷器中随机抽取了一共300件统计质量指标值,得到如图的两个统计图,其中甲地瓷器的质量指标值在区间和
的频数相等.
甲地瓷器质量频率分布直方图 乙地瓷器质量扇形统计图
(1)求直方图中的值,并估计甲地瓷器质量指标值的平均值;(同一组中的数据用区间的中点值作代表)
(2)规定该种瓷器的质量指标值不低于125为特等品,且已知样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个,结合乙地瓷器质量扇形统计图完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为甲、乙两地的瓷器质量有差异?
物等品 | 非特等品 | 合计 | |
甲地 | |||
乙地 | |||
合计 |
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始,正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成
时,那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中,甲发球赢球的概率为
,甲接发球贏球的概率为
,则在比分为
,且甲发球的情况下,甲以
赢下比赛的概率为( )
A.B.
C.
D.
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