Question

1．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax（x∈R），g（x）=e^x+$\frac{3}{2}$x²．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于?x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于?x＞0，不等式e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）【解法一】：求f（x）的导数f′（x），利用判别式△=a²-4，判断f′（x）是否大于0，
从而得出f（x）的单调性与极值点情况；
【解法二】：求f（x）的导数f′（x），根据x＞0求出f'（x）的值域，
讨论a的值得出f′（x）的正负情况，判断f（x）的单调性和极值点问题；
（Ⅱ）（ i）f（x）≤g（x）等价于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可证明；
（ ii）由（ i）结论，a=e+1时有f（x）≤g（x），
得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．

解答 解：（Ⅰ）【解法一】：由题意得$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}（x＞0）$，令△=a²-4，
（1）当△=a²-4≤0，即-2≤a≤2时，x²+ax+1≥0对x＞0恒成立；
即$f'（x）=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}≥0$对x＞0恒成立，
此时f（x）没有极值点；…（2分）
（2）当△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2，
①a＜-2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
则x₁+x₂=-a＞0，x₁x₂=1＞0，故x₂＞x₁＞0，
∴x＜x₁或x＞x₂时f（x）＞0；
在x₁＜x＜x₂时f（x）＜0，
故x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点；
②当a=-2时，△=0，函数f（x）有一个极值点；
③a＞2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-a＜0，x₁x₂=1＞0，故x₂＜0，x₁＜0，
∴x＞0时，f（x）＞0；
故函数f（x）没有极值点；…（4分）
综上，a＜-2时，函数f（x）有两个极值点；
a=-2时，函数f（x）有一个极值点；
a＞-2时，函数f（x）没有极值点；…（5分）
【解法二】：由题意得$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a$，…（1分）
∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），
①当a+2≥0，即a∈[-2，+∞）时，f′（x）≥0对?x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）没有极值点；   …（3分）
②当a+2＜0，即a∈（-∞，-2）时，方程x²+ax+1=0有两个不等正数解x₁，x₂，
$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{{（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$
不妨设0＜x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x₁，x₂分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．
综上所述，当a∈（-2，+∞）时，f（x）没有极值点；
当a=-2时，函数f（x）有一个极值点；
当a∈（-∞，-2）时，f（x）有两个极值点；…（5分）
（Ⅱ）（ i）f（x）≤g（x）等价于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，即$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$对于?x＞0恒成立，
设$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，
$φ'（x）=\frac{{（{e^x}+2x-\frac{1}{x}）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1；    …（9分）
（ ii）由（ i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），
即：${e^x}+\frac{3}{2}{x^2}≥lnx+\frac{1}{2}{x^2}+（e+1）x$，
等价于e^x+x²-（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，…（10分）
以下证明：$lnx+\frac{e}{x}≥2$，
设$θ（x）=lnx+\frac{e}{x}$，则$θ'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$，
∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，
x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，
∴θ（x）≥θ（e）=2，
∴$lnx+\frac{e}{x}≥2$，…②当且仅当x=e时取等号；
由于①②等号不同时成立，故有${e^x}+{x^2}-（e+1）x+\frac{e}{x}＞2$．…（12分）

点评 本题考查了函数与导数的综合应用问题，也考查了求函数最值与不等式恒成立问题，是综合性问题．