Question

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作 AB的垂线，交AC的延长线于点 E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H，求证：
（1）C，D，F，E四点共圆；
（2）GH²=GE•GF．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：立体几何

分析：（1）连接BC，由已知得∠ACB=90°，∠AGE=90°，∠FDC+∠CEF=180°，由此能证明C，D，F，E四点共圆．
（2）由切割线定理得GH²=GC•GD，由C，D，F，E四点共圆，得△GCE∽△GFD，由此能证明CH²=GE•GF．

解答： 选修4-1：几何证明选讲
证明：（1）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．…1分
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．
又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．…2分
又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG．…3分
∴∠FDC+∠CEF=180°．…4分
∴C，D，F，E四点共圆．…5分
（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，
∴GH²=GC•GD．…6分
由C，D，F，E四点共圆，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．…7分
∴

GC

GE

=

GF

GD

，即GC•GD=GE•GF，…8分
∴CH²=GE•GF．…10分．

点评：本题考查四点共圆的证明，考查等式相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．