Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，点M，N分别在线段AB、CD上，且MN⊥AB，BC=1，MB=2，∠CBM=60°，若梯形ABCD沿MN折起，使DN⊥NC，如图乙．
（1）求证：平面AMND⊥平面MNCB；
（2）当二面角D-BC-N的大小为30°时，求直线DB与平面MNCB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得MN⊥AB，从而MN⊥NC，又DN⊥NC，从而NC⊥平面AMND，由此能证明平面AMND⊥平面MNCB．
（2）以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，ND为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD的法向量和平面BCN的法向量，由二面角D-BC-N的大小为30°时，得到D（0，0，

3

4

），由此能求出直线DB与平面MNCB所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，
点M，N分别在线段AB、CD上，且MN⊥AB，
∴如图乙中，MN⊥NC，又∵DN⊥NC，MN∩DN=N，
∴NC⊥平面AMND，
又NC?平面MNCB，∴平面AMND⊥平面MNCB．
（2）解：以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，ND为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵BC=1，MB=2，∠CBM=60°，
∴MC=

4+1-2×1×2×cos60°

=

3

，∴MC⊥BC，
∴∠MCN=∠BMC=30°，∴MN=

3

2

，NC=

3

2

，
∴C（0，

3

2

，0），B（

3

2

，2，0），设D（0，0，t），t＞0

CD

=（0，-

3

2

，t），

CB

=（

3

2

，

1

2

，0），
设平面BCD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CD =- 3 2 y+tz=0 n • CB = 3 2 x+ 1 2 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，-

9

2t

），
又平面BCN的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角D-BC-N的大小为30°时，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

- 9 2t

12+ 81 4t2

|=cos30°=

3

2

，
由t＞0，解得t=

3

4

，∴D（0，0，

3

4

），

BD

=（-

3

2

，-2，

3

4

），
设直线DB与平面MNCB所成角为θ，
sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

n • BD

| n |•| BD |

=

3 4

85 16

=

3 85

85

．
∴直线DB与平面MNCB所成角的正弦值为

3 85

85

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．