Question

如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中点，F是BC上的一点，AF交CD于点E，且CE=DE，将△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为120°．

（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）求二面角F-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△ACD是等边三角形，CD=BD，∠B=30°，AF⊥CD，从而折叠后AE⊥CD，EF⊥CD，由此能证明平面AEF⊥平面CBD．
（2）以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAF的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AC-E的余弦值．

解答： （1）证明：由已知得△ACD是等边三角形，CD=BD，∠B=30°，
∴AF⊥CD，∴折叠后AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CBD，∴平面AEF⊥平面CBD．
（2）解：以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，
过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=2，则C（1，0，0），F（0，

3

3

，0），
A（0，-

3

2

，

3

2

），E（0，0，0），

CA

=（-1，-

3

2

，

3

2

），

CF

=（-1，

3

3

，0），
设平面CAF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CA =-x- 3 2 y+ 3 2 z=0 n • CF =-x+ 3 3 y=0

，
取y=

3

，得

n

=（1，

3

，

5

3

），

EA

=（0，-

3

2

，

3

2

），

EC

=（1，0，0），
设平面ACE的法向量

m

=（a，b，c），
则

n • EA =- 3 2 y+ 3 2 z=0 n • EC =x=0

，取y=

3

，得

m

=（0，

3

，1），
设二面角F-AC-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=

3+ 5 3

61 9 • 4

=

7 61

61

．
∴二面角F-AC-E的余弦值为

7 61

61

．

点评：本题考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角、三角形等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．