Question

3．已知函数f（x）=6cos²x-$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求锐角α满足f（α）=3-2$\sqrt{3}$，求tan$\frac{4}{5}$α．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦函数，然后来求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）根据f（α）=3-2$\sqrt{3}$求得α的值，然后结合特殊角的三角函数值进行解答．

解答 解：f（x）=6cos²x-$\sqrt{3}$sin2x
=3（2cosx-1）+3-$\sqrt{3}$3sin2x
=3cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+3
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x）+3
=-2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
当sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-1时，取得最大值为2$\sqrt{3}$+3；
最小正周期T=2π/w=2π/2=π
（2）∵f（α）=3-2$\sqrt{3}$，
∴-2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3=3-2$\sqrt{3}$，
即sin（2a-$\frac{π}{3}$）=1．
∵α是锐角，
∴2a-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
解得a=$\frac{5π}{12}$，
故$\frac{4}{5}$α=$\frac{π}{3}$，
所以tan$\frac{4}{5}$α=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．