Question

20．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-{x^2}，x＞0\\ ax{e^x}，x≤0\end{array}\right.$，其中a＞0．
（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；
（2）若f（x）≥-a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x²-2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．
（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）e^x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．

解答 解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x²-2x，
令f'（x）=0时得$x=\frac{2}{3}$；令f'（x）＞0得$x＞\frac{2}{3}，f（x）$递增；
令f'（x）＜0得0$＜x＜\frac{2}{3}$，f（x）递减，
∴f（x）在$x=\frac{2}{3}$处取得极小值，且极小值为$f（{\frac{2}{3}}）=-\frac{4}{27}$，
∵f（0）=0，f（2）=4，
所以由数形结合可得0≤m≤4或$m=-\frac{4}{27}$．
（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e^x，a＜0，令f'（x）=0得x=-1；令f'（x）＞0得-1＜x≤0，f（x）递增；
令f'（x）＜0得x＜-1，f（x）递减．∴f（x）在x=-1处取得极小值，且极小值为$f（{-1}）=-\frac{a}{e}$．
∴a＞0，∴$-\frac{a}{e}＜0$，因为当$-\frac{a}{e}≥-\frac{4}{27}$即$0＜a≤\frac{4}{27}e$时，$f{（x）_{min}}=f（{\frac{2}{3}}）=-\frac{4}{27}$，∴$-a≤-\frac{4}{27}$，∴$\frac{4}{27}≤a≤\frac{4}{27}e$．
当$-\frac{a}{e}＜-\frac{4}{27}$即$a＞\frac{4}{27}e$时，$f{（x）_{min}}=f（{-1}）=-\frac{a}{e}$，∴$-a≤-\frac{a}{e}$，即a≥0，∴$a＞\frac{4}{27}e$．
综上，$a∈[{\frac{4}{27}，+∞}）$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．