Question

5．设关于x的不等式x²-（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（1）设不等式bx²-（c+1）x-c＞0的解集为A，集合B=[-2，2），求A∩B；
（2）若x＞1，求$\frac{{{x^2}-bx+c}}{x-1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由不等式的解集求出b、c的值，代入不等式bx²-（c+1）x-c＞0求出解集A，
再根据交集的定义计算A∩B；
（2）利用基本不等式求$\frac{{{x^2}-3x+6}}{x-1}$的最小值即可．

解答 解：关于x的不等式x²-（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}
∴$\left\{\begin{array}{l}2+3=b+2\\ 2×3=c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=6\end{array}\right.$；
（1）不等式bx²-（c+1）x-c＞0可化为3x²-7x-6＞0，
由3x²-7x-6＞0解得$x＜-\frac{2}{3}$或x＞3，
即$A=（-∞，-\frac{2}{3}）∪（3，+∞）$；
又B=[-2，2），∴$A∩B=[-2，-\frac{2}{3}）$；
（2）∵x＞1，∴x-1＞0，
则$\frac{{{x^2}-bx+c}}{x-1}=\frac{{{x^2}-3x+6}}{x-1}$
=$\frac{{{{（x-1）}^2}-（x-1）+4}}{x-1}$
=$（x-1）+\frac{4}{x-1}-1≥4-1=3$，
当且仅当x=3时等号成立，
即$\frac{{{x^2}-3x+6}}{x-1}$的最小值为3．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系和应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．