Question

7．五位同学按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲乙必须相邻
（2）甲乙不相邻
（3）甲不站中间，乙不站两端
（4）甲，乙均在丙的同侧．

Answer 1

分析 （1）捆绑法：把甲乙看成一个整体，再全排列即可，
（2）插空法：将甲乙插入到剩下3人排列后所成的间隔中，
（3）间接法：先求出没有限制要求的，再排除有要求的，
直接法：分两类，第一类，乙在中间，乙不在中间，
（4）定序法，甲乙丙的顺序共3种，其中甲，乙均在丙的同侧占$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）捆绑法：把甲乙看成一个整体，这样5个人变成了4个人，全排列共有A₂²A₄⁴=48 （种）站法，
（2）插空法：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的3个人站队，有A₃³种；第二步再将甲、乙排在3人形成的4个空档（含两端）中，有A₄²种，故共有站法为A₃³A₄²=72（种）．
（3）间接法：若对甲乙没有限制条件共有A₅⁵种法，甲在中间有A₄⁴种站法，乙在两端有2A₄⁴种，甲站中间乙站两端的有2A₃³种，
故甲不站中间，乙不站两端共有A₅⁵-3A₄⁴+2A₃³=120-72+12=60，
直接法：第一类，乙在中间，有A₄⁴=24种，乙不在中间，有A₂¹A₃¹A₃³=36种，根据分类计数原理共有24+36=60种，
（4）定序法：甲，乙均在丙的同侧，甲乙丙的顺序共3种，其中甲，乙均在丙的同侧占$\frac{2}{3}$，故有$\frac{2}{3}$A₅⁵=80种．

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目