Question

16．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t-3\end{array}\right.$（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的互化方法，求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）将直线l的方程y=x-4代入曲线C的普通方程y²=2x，得x²-10x+16=0，利用韦达定理及弦长公式求弦长|AB|．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程是：$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲线C的直角坐标方程是：y²=2x．由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t-3\end{array}\right.$，得t=3+y
代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，所以直线l的普通方程为：x-y-4=0-------（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l的方程y=x-4代入曲线C的普通方程y²=2x，得x²-10x+16=0，所以x₁+x₂=10，x₁x₂=16，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=6\sqrt{2}$，

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与抛物线位置关系，考查弦长公式，属于中档题．