Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E，M分别是AD，PD中点，PE⊥BE，PA=PD=AD=2，AB=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：PB∥平面MAC；
（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求证：平面MAC⊥平面PBE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OE，则OM∥PB，利用线面平行的判定定理证明：PB∥平面MAC；
（Ⅱ）证明PE⊥AD，利用PE⊥BE，BE∩AD=E，证明：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）证明AC⊥平面PBE，即可证明：平面MAC⊥平面PBE．

解答 （Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OE，则OM∥PB，
∵PB?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PB∥平面MAC；
（Ⅱ）∵PA=PD，E是AD的中点，
∴PE⊥AD，
∵PE⊥BE，BE∩AD=E，
∴PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）∵PE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PE，
∵AD=2，AB=$\sqrt{2}$，四边形ABCD是矩形，E是AD中点，
∴△ABE∽△DAC，
∴∠ABE=∠DAC，
∴AC⊥BE，
∵PE∩BE=E，
∴AC⊥平面PBE，
∵AC?平面MAC，
∴平面MAC⊥平面PBE．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．