Question

3．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中k为常数．
（1）若k=-1，函数f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；
（2）在（1）的条件下，又知f（x）为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x，则方程f（x）=-$\frac{1}{2}$在区间[0，2016]上有多少个解？（写出结论，不需过程）
（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f（x）=x（x-2），求f（x）在[-3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得证．
（2）依题意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，进而求出$f（x）=-\frac{1}{2}$时x的值．再根据函数的周期性求出在[0，2016]上的所有x的个数．
（3）根据条件可得f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2），求出f（x）在[-3，3]上的表达式，通过表达式研究单调性．即可求出f（x）的最小值与最大值．

解答 解：（1）若k=-1，则f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-$\frac{1}{2}$x，即f（x）=$\frac{1}{2}$x．故f（x）=$\frac{1}{2}$x（-1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，
∴f（x-2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2），∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x，-1≤x≤1}\\{-\frac{1}{2}（x-2），1＜x＜3}\end{array}\right.$
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．
故f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x=4n-1（n∈Z）．
令0≤4n-1≤2016，则$\frac{1}{4}$≤n≤504$\frac{1}{4}$，
又∵n∈Z，∴1≤n≤504（n∈Z），
∴在[0，2016]上共有504个x使f（x）=-$\frac{1}{2}$．
（3）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），
∴f（x-2）=kf（x），
∴f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）．
当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x＜-2时，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）．
当2≤x≤3 时，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
综上可得，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}（x+2）（x+4），-3≤x＜-2}\\{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x＜2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2≤x≤3}\end{array}}$
∵k＜0，
∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1]上为减函数．
则函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，
f（x）在x=-3或x=1处取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3处取最大值f（-1）=-k或f（3）=-$\frac{1}{k}$，
故有：①k＜-1时，f（x）在x=-3处取最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=1处取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1与x=3处取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=-1，在x=3处取最大值f（3）=-$\frac{1}{k}$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了换元的思想、分类讨论的数学思想，求f（x）在[-3，3]上的表达式是本题的难点和易错点．