Question

4．如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AC交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA=$\sqrt{3}$，E，F分别是CD，SB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；
（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：取SA得中点为G，连接GD，GF，可得四边形DEFG为平行四边形，即可证得EF∥面SAD．
 （Ⅱ）连接SO，只需证明SO⊥BO．，AC⊥BD．可证得BD⊥平面SAC．
（Ⅲ） 过A作AH⊥SO与H，可得ABH就是AB与平面SBD所成角．
 在Rt△ABH中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{4}$．即得直线AB与平面SBD所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：取SA得中点为G，连接GD，GF，
∵E，F分别是CD，SB的中点．∴GF∥AB，GF=$\frac{1}{2}$AB，DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB．
∴GF∥DE，GF=DE，∴四边形DEFG为平行四边形．
∵DG?面SAD，EF?面SAD，∴EF∥面SAD．


（Ⅱ）证明：连接SO，因为，△SBD是边长为2的正三角形，O为中点，∴SO⊥BO．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又SO∩AC=O，∴BD⊥平面SAC．
（Ⅲ）如图2过A作AH⊥SO与H，由（Ⅱ）得面SAC⊥面SDB．
∴AH⊥面SDB，∴∠ABH就是AB与平面SBD所成角．
四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，△SBD是边长为2的正三角形，∴AB=2，AO=SO=$\sqrt{3}$，
∵SA=$\sqrt{3}$，∴△SAO是边长为$\sqrt{3}$的正三角形．
又因为AH⊥SO，∴H时SO得中点，∴AH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ABH中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{4}$．
∴直线AB与平面SBD所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了空间线面平行、垂直的判定，几何法求线面角，属于中档题，