Question

19．已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（2）若xf′（x）=x²+ax+1在x∈（0，+∞）上没有实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导函数f'（x），代入xf'（x）=x²+ax+1，将a分离出来，然后利用导数研究方程右边的最值，从而由方程无实根求出参数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx-x+1的导数为f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-1=lnx+$\frac{1}{x}$，
可得函数f（x）在点（1，f（1））的切线斜率为1，切点为（1，0），
即有函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=x-1；
（2）函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-1=lnx+$\frac{1}{x}$，
即有xf′（x）=xlnx+1，
xf′（x）=x²+ax+1等价于lnx-x=a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得x=1是g（x）的最大值点，
则g（x）≤g（1）=-1，
由题意可得xf′（x）=x²+ax+1在x∈（0，+∞）上没有实根，
即为lnx-x=a无解，
可得a的取值范围是（-1，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线的切线方程和函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．