Question

11．设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（mod m）．若a=C${\;}_{18}^{1}$+C${\;}_{18}^{2}$+…+C${\;}_{18}^{18}$，a=b（mod9），则b的值可以是（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 2018

Answer 1

分析 利用二项式定理把a化为${C}_{6}^{0}$•9⁶-${C}_{6}^{1}$•9⁵+${C}_{6}^{2}$•9⁴-${C}_{6}^{3}$•9³+${C}_{6}^{4}$•9²-${C}_{6}^{5}$•9的形式，得出a除以9的余数，
再判断选项中的数是否与a除以9的余数相同即可．

解答 解：∵${C}_{18}^{0}$+C${\;}_{18}^{1}$+C${\;}_{18}^{2}$+…+C${\;}_{18}^{18}$=2¹⁸，
∴a=C${\;}_{18}^{1}$+C${\;}_{18}^{2}$+…+C${\;}_{18}^{18}$
=2¹⁸-1
=（9-1）⁶-1
=${C}_{6}^{0}$•9⁶-${C}_{6}^{1}$•9⁵+${C}_{6}^{2}$•9⁴-${C}_{6}^{3}$•9³+${C}_{6}^{4}$•9²-${C}_{6}^{5}$•9，
∴a除以9的余数为0；
又2016除以9的余数为0，
∴b的值可以是2016．
故选：B．

点评 本题考查了新定义的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．