Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），x≥a}\\{x（a-x），x＜a}\end{array}\right.$，
（1）当a=2时解不等式f（x）＜x；
（2）当a＞0时解关于x的不等式f（x）＜2a²．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入，分别解出不同情况满足不等式f（x）＜x的x值，综合可得答案；
（2）分别求解不同情况下满足不等式f（x）＜2a²的x值，综合可得答案；

解答 解：（1）当a=2时，不等式f（x）＜x可化为：
$\left\{\begin{array}{l}x（x-2）＜x，x≥2\\ x（2-x）＜x，x＜2\end{array}\right.$
解得：x∈（-∞，0）∪（1，3）；
（2）当a＞0时，2a＞a，
等式f（x）＜2a²可化为：
$\left\{\begin{array}{l}x（x-a）＜2{a}^{2}，x≥a\\ x（a-x）＜2{a}^{2}，x＜a\end{array}\right.$，
当x≥a时，不等式可化为：x²-ax-2a²＜0，
解得：-a＜x＜2a，
∴a≤x＜2a，
当x＜a时，不等式可化为：x²-ax+2a²＞0，
此时不等式恒成立，
∴x＜a，
综上可得：原不等式的解集为（-∞，2a）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，难度中档．