Question

8．不等式x+$\frac{a}{x}$＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立的条件是$（\frac{1}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 x∈（0，+∞），则不等式x+$\frac{a}{x}$＞1化为：a＞x-x²，由于x-x²=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，即可得出．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴不等式x+$\frac{a}{x}$＞1化为：a＞x-x²，
∵x-x²=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，当x=$\frac{1}{2}$时取等号，
不等式x+$\frac{a}{x}$＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a＞$\frac{1}{4}$．
故答案为：$（\frac{1}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．