Question

边长为a的正四面体的内切球半径为

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：作AO₁⊥平面BCD于O₁，则O₁为△BCD的中心，求BO₁=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a，AO₁=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a，在平面ABO₁内作AB的垂直平分线交AO₁于O，O是内切球球心，由此能求出正四面体的内切球半径．

解答： 解：如图设ABCD是棱长为a的正四面体
作AO₁⊥平面BCD于O₁，则O₁为△BCD的中心
则BO₁=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a，
∴AO₁=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a，
在平面ABO₁内作AB的垂直平分线交AO₁于O，则AO=BO=CO=DO，
且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距离相等，
∴O是正四面体的内切球，外接球球心
∵

AO

AB

=

AE

AO1

，∴AO=

a 2 ×a

6 3 a

=

6

4

a，
∴正四面体的内切球半径为：OO₁=

6

3

a-

6

4

a=

6

12

a．
故答案为：

6

12

a．

点评：本题考查正四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．