Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和．
①求T_n的表达式，并判断T_n的单调性；
②求使T_n＞2的n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把S_n+1+S_n-1=2S_n+1整理为：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1，即a_n+1-a_n=1  即可说明数列{a_n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a_n}的通项公式；
（2）①求得数列{b_n}的通项公式，利用“错位相减法”即可求得T_n为数列{b_n}的前n项和，即可判断T_n的单调性；
②由3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＞2，则$\frac{n+3}{{2}^{n}}$-1＜0，构造函数，根据函数的单调性即可求得n的取值范围．T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，

解答 解：（1）证明：由已知：（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1  （n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1  （n≥2，n∈N^*）且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．
（2）①由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2^-n，它的前n项和为T_n
T_n=2•2^-1+3•2^-2+4•2^-3+…+n•2^-n+1+（n+1）•2^-n，①
$\frac{1}{2}$T_n=2•2^-2+3•2^-3+4•2^-4+…+n•2^-n+（n+1）•2^-（n+1），②
$\frac{1}{2}$T_n=1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^-n-（n+1）•2^-（n+1），②
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
设g（x）=3-$\frac{x+3}{{2}^{x}}$，x∈N*．求导，g′（x）=$\frac{（x+3）ln2-1}{{2}^{x}}$＞0，x∈N*．
g（x）单调递增，
∴T_n单调递增；
②由T_n＞2，则3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＞2，则$\frac{n+3}{{2}^{n}}$-1＜0，设f（n）=$\frac{n+3}{{2}^{n}}$-1，则f（n+1）-f（n）=-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$＜0，
则f（n）在N₊上单调递减，
f（1）=1，f（2）=$\frac{1}{4}$＞0，f（3）=-$\frac{1}{4}$＜0，
当n=1，n=2时f（n）＞0，f（3）＜0，
∴n的取值范围为n＞3，且n∈N*．

点评 本题考查数列的综合应用，考查数列的递推公式，“错位相减法”求数列的前n项和，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．