Question

5．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，$F（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）（x＞0）\\-f（x）（x＜0）\end{array}\right.$
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设n＜0＜m，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，试判断函数值：F（m）+F（n）的正负．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=0得出a，b的关系，再根据f（x）有最小值0列方程解出a，b即可得出F（x）；
（2）由偶函数可得b=0，写出F（m）+F（n）关于a，m，n的表达式，由m＞-n＞0，a＞0即可判断结论．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，即a=b-1，
∵f（x）的值域为[0，+∞），∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{b}^{2}-4a=0}\end{array}\right.$，
∴b²-4（b-1）=0，解得b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）∵f（x）是偶函数，∴f（x）=ax²+1，∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x＞0}\\{-a{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵n＜0＜m，∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²），
∵n＜0＜m，m+n＞0，a＞0，
∴m²＞n²，∴a（m²-n²）＞0．
∴F（m）+F（n）＞0．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数对称性的应用，属于中档题．