Question

13．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率是椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x
• B． y=±$\frac{1}{2}$x
• C． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$x
• D． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$x

Answer 1

分析 求出椭圆和双曲线的离心率关系，结合双曲线渐近线的方程 进行转化求解即可．

解答 解：由椭圆的方程$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1得a²=16，b²=7，则c²=16-7=9，即a=4，c=3，则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率是椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{7}$=1的二倍，
∴双曲线的离心率e=2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$x，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据双曲线离心率和椭圆离心率的关系建立方程关系是解决本题的关键．