Question

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+ax+cos2x若f（$\frac{π}{3}$）=2，则f（-$\frac{π}{3}$）=-2．

Answer 1

分析 由f（x）可令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+$\frac{1}{2}$，判断g（x）为奇函数，由f（-$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+ax+cos2x
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$+ax+cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax+cos2x+$\frac{1}{2}$，
可令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax，则f（x）=g（x）+cos2x+$\frac{1}{2}$，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$-ax=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$-ax
=-g（x），即有g（x）为奇函数，
可得f（-$\frac{π}{3}$）=g（-$\frac{π}{3}$）+cos（-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
又f（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{π}{3}$）+cos$\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{2}$，
两式相加可得，f（-$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，
由f（$\frac{π}{3}$）=2，可得f（-$\frac{π}{3}$）=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求函数值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．