Question

19．y=sinx+acosx中有一条对称轴是x=$\frac{5}{3}$π，则g（x）=asinx+cosx最大值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：利用三角恒等变换化简y，利用正弦函数在对称轴时取得最值，即可求出a的值以及y的最大值；
方法二：根据三角函数在对称轴时的函数值是最值，对应的导函数值为0，利用导数求出a的值以及y的最大值．

解答 解法一：因为y=sinx+acosx中有一条对称轴是x=$\frac{5}{3}$π，
所以y=sinx+acosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），其中tanθ=a；
当x=$\frac{5}{3}$π时，y=|sin$\frac{5π}{3}$+acos$\frac{5π}{3}$|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
平方得：${（-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}a）}^{2}$=a²+1，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以y的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
解法二：因为函数y的对称轴为$\frac{5}{3}π$，
所以可知此时y的导函数值为0；
又y′=cosx-asinx，
当x=$\frac{5π}{3}$时，y′=cos$\frac{5π}{3}$-asin$\frac{5π}{3}$=0，
即$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=0，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以y的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数最值的应用问题，给三角函数求导也是一种求最值的方法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为0，是基础题目．