Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，直线l：x-my-1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l₁，设直线l₁与定直线l₂：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP是否过定点？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，直线l：x-my-1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）令m=0，则A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）或A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$），从而得到满足题意的定点只能是（$\frac{5}{2}$，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（$\frac{5}{2}$，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，直线l：x-my-1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，
∴由题设，得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）令m=0，则A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）或A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$），
当A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）时，P（4，$\frac{3}{2}$），直线BP：y=x-$\frac{5}{2}$，
当A（1，-$\frac{3}{2}$），B（1，$\frac{3}{2}$）时，P（4，-$\frac{3}{2}$），直线BP：y=-x+$\frac{5}{2}$，
∴满足题意的定点只能是（$\frac{5}{2}$，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y₁，从而只要证明P（4，y₁）在直线BD上，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∵△=144（1+m²）＞0，∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，①
∵k_DB-k_DP=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$-$\frac{{y}_{1}-0}{4-\frac{5}{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+1-\frac{5}{2}}$-$\frac{{y}_{1}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}{y}_{2}-{y}_{1}（m{y}_{2}-\frac{3}{2}）}{\frac{3}{2}（m{y}_{2}-\frac{3}{2}）}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}-\frac{2}{3}m{y}_{1}{y}_{2}}{m{y}_{2}-\frac{3}{2}}$，
①式代入上式，得k_DB-k_DP=0，∴k_DB=k_DP，
∴点P（4，y₁）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．